Метод численного статистического моделирования

Метод Монте-Карло – это численный метод решения математических задач на основе моделирования случайной величины. В области химических наук его используют для симуляции опытных данных, что позволяет удобно и продуктивно решать задачи исследования на материале компьютерного эксперимента.

Структура вычислительного алгоритма, реализующего метод Монте-Карло, состоит в осуществлении n отдельных случайных испытаний и нахождении их среднего. Метод позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют случайные факторы, и эффективен при решении тех задач, в которых результат нужен с точностью не более 5-10%.

В основе метода лежит центральная предельная теорема теории вероятности, из которой следует, что суммарное воздействие большого числа незначительных случайных факторов приводит к нормальному распределению случайной результирующей величины. Важно, чтобы отдельные слагаемые не были доминирующими.

Если случайная величина z имеет нормальное распределение c математическим ожиданием Мz=а и дисперсией Dz=s2, то вероятность получить в результате единичного испытания значение z, не отличающееся больше чем на 3s равна 99,7% [24]:

(1.35)

где n – число испытаний. Данное утверждение лежит в основе метода и дает возможность моделировать отдельные случайные значения при знании параметров распределения (математического ожидания среднего результата и дисперсии выборки s2). Величина

, (1.36)

где z распределена нормально с параметрами Мz=0 и Dz=1, имеет также нормальное распределение с параметрами Мz¢=а и Dz¢=s2. нормально распределенные величины z получают по следующей формуле [25, 26]:

, (1.37)

где r и r¢ – случайные числа, равномерно распределенные между 0 и 1. Эти числа могут быть получены с применением генераторов случайных чисел. В частности, для компьютерного языка Pascal – это оператор Randomize.

Известно применение метода Монте-Карло в аналитической химии для изучения влияния пробоотбора на результаты анализа, изучения шума или случайных отклонений в аналитическом сигнале, а также при исследовании равновесных систем [27,28].

Чем сложнее влияние параметров анализа на его результаты, тем эффективнее применение метода Монте-Карло [24]. Он позволяет экспериментатору регулировать желаемым образом параметры нормального распределения измеряемых величин, прогнозировать погрешности оценок параметров системы в зависимости от погрешностей измерений, апробировать вычислительные процедуры на материале машинного эксперимента и решить многие другие задачи хемометрики, связанные с моделированием и обработкой аналитического сигнала.

Одной из главных поблеем анализа многокомпонентных систем, является установление их стехиометрического состава. В настоящее время для этого используют в основном физические методы анализа, которые обладают рядом преимуществ: чувствительностью, точностью, доступностью, практичностью, а так же низким значением предела обнаружения, хорошей воспроизводимостью результатов, возможностью автоматизации, экспрессностью.

Большой интерес на сегодняшний день представляют многочисленные публикации, посвященные трехкомпонентным соединениям меди (CuBIIICVI). Определение стехиометрии данного соединения, как указывают на это авторы работ [29], является прямой задачей фотометрического метода. Однако иногда более важным является решение обратной задачи - определение физических свойств или параметров вещества на основе данных эксперимента.