Массоперенос через мембрану на уровне локального объема мембранного аппарата.

Следует иметь в виду, что все феноменологические методы описания релаксационных процессов требуют независимого определения либо феноменологических коэффициентов, либо времени релаксации или констант скоростей реакции, если массоперенос сопровождается химической реакцией.

Проиллюстрируем на примере работы анализ уравнения (13), приведенного к более общему виду:

(14)

где F – некоторый параметр, а H – функция Гамильтона; [H, F] – скобка Пуассона.

Для данного случая [H, F] = const и:

(15)

где F0 – равновесное значение параметра F; F-F0 – возмущение; - время релаксации; StF – интеграл столкновений. Разделяемые в мембранных процессах растворы в большинстве случаев представляют собой растворы электролитов. Поэтому, необходимо охарактеризовать геометрию однородного и изотропного заряда в системе. Это можно сделать следующим образом. В равновесных условиях параметр постоянен вдоль фазовых траекторий, т. е. он независим от времени: , следовательно,

StF=0 и (16)

При использовании вместо F плотности числа ионов получают уравнение непрерывности, поскольку StF = 0 обеспечивает сохранение массы и заряда:

(17)

В свою очередь, закон сохранения энергии следует из (16) при замене F функцией Гамильтона H. При этом . Раскрывая скобку Пуассона и учитывая, что и , получают уравнение движения:

(18)

Заменяя в (16) F на напряженность E, поскольку эта величина- важнейшая для растворов электролитов, получают уравнение Пуассона:

(19)

В результате получают систему уравнений гидродинамического приближения:

(20)

(21)

(22)

решением которой является Ленгмюровская частота:

(23)

где ; ci – концентрация, моль/м3; NA – число Авогадро; mi – масса негидратированного иона; - возмущение ( = F-F0); e – заряд электрона.

В процессах мембранного разделения причиной возникновения ленгмюровских колебаний может являться пространственное разделение зарядов из-за накопления растворенного вещества у поверхности мембраны. Аналитическое решение (22) получено для идеализированной системы, в которой рассматривают ион в растворе как "газ в вакууме".